4. Teorema della continuità delle funzioni derivabili.

Se  f(x) è derivabile in un punto c, essa è continua in c.

 

Dimostrazione

Supponendo f(x) derivabile in c, dobbiamo far vedere che è continua, cioè che     oppure, che è lo stesso, .

Per far ciò, dalla relazione f( c + h) aggiungiamo e sottraiamo f(c) e moltiplichiamo e dividiamo per h gli ultimi due termini, e si avrà:

  

 

Passando al limite per h che tende a 0, si ha:

   

 

Più in generale si ha: Se una funzione f(x) è derivabile in un intervallo, allora essa è ivi continua. Si noti che viceversa una funzione continua in un punto può essere ivi non derivabile.

Esempio 1.- La funzione  è in x = 0 continua ma non è ivi derivabile (fig. 2).

 

Infatti, per tale funzione risulta: .