Capitolo 4

Derivate e calcolo differenziale

 

1. Definizione di rapporto incrementale.

Sia y = f(x) una funzione definita in un intervallo (a, b) e siano x e x + h due punti dello stesso intervallo (a, b), in cui la funzione assume rispettivamente i valori f(x) e  f(x+h).

Si definisce incremento della variabile indipendente x il segmento P’Q’ (indicato generalmente con ), e incremento della funzione il segmento AQ (indicato con ).

Si chiama, quindi, rapporto incrementale della funzione il rapporto tra l’incremento della variabile dipendente e l’incremento della variabile indipendente, cioè:  

             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Definizione di derivata. Derivate d’ordine superiore.

a) Si dice derivata di una funzione y = f(x), definita nell’intervallo aperto (a, b), nel punto c Î (a, b) il valore, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale per  tendente a zero, cioè: 

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e si scrive .

La derivata di una funzione si può indicare anche con uno dei seguenti simboli:  

 

.

 

 

La (1) può essere scritta equivalente mente nei seguenti modi:

 

         

2)    

 

3)    

 

ove si è assunto Dx  in luogo di h nella (2), e, nella (3), x in luogo di x + h e c in luogo di x.