*)                     y' = f '(x) [ | f(x) | / f(x)]

Esempio 1. - Calcolare la derivata della funzione y = | x² - 1 |

Osserviamo preliminarmente che la funzione f(x) = x² - 1 ha per derivata 2x.
Quindi applicando la formula (*) si ha:

y' = 2x [ | x² - 1 | / ( x² - 1 ) ]

e tenuto conto che il segno di f(x) =  x² - 1( il che si vede risolvendo la disequazione x² - 1 ³ 0) è:

• positivo per per x >1, x < -1

• negativo per -1<x<1

• nullo per x = 1,  x = -1

si ha che

      y' = 2x [  (x² - 1)  / ( x² - 1 ) ] = 2x          per x >1, x < -1

      y' = 2x [  (1 - x² )  / ( x² - 1 ) ] = - 2x      per -1<x<1

      y' = non esiste                                          per x = 1,  x = -1

Si può procedere anche in un altro modo.
La funzione y = | x² - 1 | si può riscrivere senza il valore assoluto* nel seguente modo:

      y = x² - 1     per x >1, x < -1

      y = 1 - x²       per -1<x<1

      y = 0            per x = 1,  x = -1

e derivando singolarmente si ottiene:

     y' = 2x          per x >1, x < -1

     y' = - 2x       per -1<x<1

     y' = non esiste            per x = 1,  x = -1

Esempio 2. - Calcolare la derivata della funzione y = | log x  |
La funzione è definita per x > 0 e si può riscrivere senza il valore assoluto nel seguente modo:

         y = log x        per x > 1

         y = - log x      per 0<x<1

         y = 0             per x = 1

Derivando singolarmente si ha:

         y' = 1/x         per x > 1

         y' = -1/x        per 0<x<1

         y' = 0            per x = 1,

In x = 0 la derivata non esiste, ma per x che tende a zero da destra diventa - ¥, mentre per x che tende a zero da sinistra non ha senso.

Esempio 3. - Calcolare la derivata della funzione y = | 1/x  |

La funzione è definita per x ¹ 0 e si può riscrivere nel seguente modo:

         y = 1/x          per x > 0    

         y = -1/x        per x < 0

Quindi la derivata è:

         y' = -1/x²          per x > 0    

         y' =  1/x²          per x < 0

In x = 0 la derivata non esiste, però per x che tende a zero da destra diventa - ¥ e per x che tende a zero da sinistra diventa + ¥.

 Esempio 4. - Calcolare la derivata della funzione y = | x² - x | × |  x | 

La funzione data si può riscrivere nel seguente modo  

       y = | x(x² - x) |   = | x³ - x² |

in virtù di una proprietà del valore assoluto**.
Quindi analizzando il segno dell'argomento, risolvendo la disequazione x(x² - x)³ 0, si ha:

      y = x³ - x²             per x  >1

      y = - x³ + x²           per x  <1,  x ¹ 0

      y = 0                     per x  = 1, x= 0

e la derivata è:

     y ' = 3x² - 2x                 per x  >1

     y' = -3x² + 2x              per x  <1,  x ¹ 0

     y' = non esiste              per x  = 1, x= 0

--------------------------------------------------
* Ricordiamo che per scrivere la funzione data senza valore assoluto bisogna analizzare il segno dell'argomento del valore assoluto f(x) = x² - 1 risolvendo la disequazione x² - 1³ 0.
**  | a |  | b | =  | ab |

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