Teorema fondamentale dei massimi e minimi (o di Fermat)
Se c è un punto di massimo o minimo relativo per la funzione f(x) e in tale punto la funzione f(x) è derivabile allora f’(c) = 0.

 

Dimostrazione

Sia allora c un punto di massimo relativo per la funzione f(x). In base alla definizione di massimo relativo esiste un intorno completo H di c per il quale risulta .
Indicato  allora con h un numero positivo tale che il punto c + h sia interno a H, si ha:

 

      .

 

Dividiamo la disuguaglianza per h e per – h, e si ha:

 

1)         ,                             2)      .

 

Questi due rapporti incrementali (il primo destro e il secondo sinistro), essendo la funzione derivabile  in c, esistono e sono finiti, per h che tende a zero, e per di più sono uguali tra loro; precisamente, il valore comune del limite dei rapporti (1) e (2) è, cioè la derivata della funzione f(x) nel punto c.

Passando ai limiti, per h che tende a zero, si ha anche:

                             ,                                            

 

e da queste due disuguaglianze segue che .
Allo stesso modo si ragiona se c è un punto di minimo relativo.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Interpretazione geometrica
Dal punto di vista geometrico il teorema afferma che la tangente ad una curva in un suo punto di massimo o minimo relativo è parallela all’asse x (fig. 1).