14. Massimi e minimi relativi delle funzioni derivabili.

 

Definizione di massimo e minimo relativi di una funzione.

Sia y = f(x) una funzione reale definita nell’intervallo aperto (a,b). Si dice che un punto c interno all’intervallo (a,b) è un punto di massimo relativo per la funzione f(x), se esiste un intorno completo H del punto c, tale che:

 

 

per ogni x appartenente a H.
Allo stesso modo si definisce il minimo relativo per una funzione f(x).

Sia y = f(x) una funzione reale definita nell’intervallo aperto (a,b). Si dice che un punto c interno all’intervallo (a,b) è un punto di minimo relativo per la funzione f(x), se esiste un intorno completo H del punto c, tale che:

 

 

per ogni x appartenente a H.

Il punto c si dice poi di massimo relativo proprio (minimo relativo proprio) se

 

        ()

 

per ogni appartenente a H distinto da c.

Il valore che la f(x) assume in un punto di massimo o minimo relativo, si chiama un massimo o un minimo relativo di f(x).

Osserviamo che il valore assunto dalla funzione f(x) in un punto c di massimo o minimo relativo, non è necessariamente il più grande o il più piccolo valore tra quelli che essa assume in tutto l’intervallo (a,b), ma solo il più grande o il più piccolo fra quelli che la funzione assume in un intorno convenientemente piccolo di c.

Pertanto, la funzione può, nel dato intervallo, avere parecchi massimi e minimi relativi (fig. 1)