e           

 

da cui, dividendo la prima per  -h e la seconda per h, si ottiene:

 

      e                 

cioè il rapporto incrementale è positivo sia a destra che a sinistra di  c, per cui passando al limite per h →0, per il teorema inverso della permanenza del segno, si ha che  f’(c) è certamente non negativa, quindi f’(c) ³  0.

Analogamente si dimostra che  f  decrescente in c Þ f’(c) £  0.

Regola

Per determinare i punti in cui la funzione f(x), definita in ]a,b[, è e crescente ( risp. decrescente ) si procede nel seguente modo:

 

1) si calcola la derivata[1] prima  f ¢ (x);

2) si risolve in ]a,b[ la disequazione f ¢(x) > 0;

3) la funzione è crescente nei punti x = c che verificano la disequazione   suddetta,  decrescente altrimenti.

 

Esempio 1.- Calcolare gli intervalli in cui la funzione y = 2x³ - 6x + 1 è crescente.

 

La derivata prima è y¢ = 6(x²  - 1). La disequazione y¢ > 0, ossia 6(x² - 1) > 0, è verificata

"xÎ J = ]- ¥, -1[  È]1,+ ¥ [ .

Pertanto la  funzione y è crescente nell’intervallo J e decrescente altrimenti, ossia in R - J.

Possiamo riassumere l’esame del segno della derivata prima in un prospetto del tipo:

                    

                  

ove si evidenzia che per x < - 1  e  x > 1 la funzione y è crescente   e per -1< x < 1  è decrescente.

 

Esempio 2.- Stabilire gli intervalli in cui la funzione y =  è crescente.

La funzione y è definita in R - {1}. La derivata prima è y¢ = , e la disequazione  y¢ > 0 non ammette soluzioni reali.

Pertanto la funzione y è decrescente in R - {1}.