13. Crescenza e decrescenza di una funzione.

Una funzione , definita nell’intervallo aperto ]a , b[ di R, si dice crescente nel punto  x = c dell’intervallo ]a , b[  se " h >0 si ha:    

 

 

 

mentre si dice decrescente nel punto  x = c se  " h >0 si ha: 

  

 

 

Nelle figure 1 e 2 sono rappresentate rispettivamente una funzione crescente e una decrescente nell’intervallo ]a , b[.

Una funzione si dice  crescente (decrescente) se lo è in tutto il suo il suo insieme di definizione.     

 

    

                                                                     

Per determinare gli intervalli del dominio ove una funzione è crescente o decrescente ci si può servire del seguente:

 

Teorema fondamentale delle funzioni crescenti e decrescenti.

1.      Se una funzione  y = f(x) è crescente in (a,b)  allora  " x Î (a,b)      f’(x) ³ 0;

2.      Se  una funzione  y = f(x) è decrescente in (a,b) allora " x Î (a,b)   f’(x) £ 0;

3.      Se una funzione  y = f(x) è costante in (a,b) allora   " x Î (a,b)      f’(x) = 0;

 

Dimostrazione

Dimostriamo l’implicazione 1, cioè che se y = f(x) è crescente in c allora f’(c) ³  0.

Infatti, se f è crescente, " h >0  si ha:

 

 

cioè