9. Nozione di differenziale.

Si dice differenziale primo di una funzione y = f(x), definita in (a,b), relativo all’incremento Dx, il prodotto della derivata f¢(x) per Dx, ossia:

 

1)        d y = f ¢(x) Dx

 

Mentre si dice differenziale della funzione y = f(x) nel punto d’ascissa x = c il seguente prodotto:

d y = f ¢(c) Dx

 

 

Esempio 1.-  La funzione ha differenziale , mentre nel punto x = 2 ha differenziale

 

OSSERVAZIONE 1 - Nuovo aspetto del differenziale.

Considerata la funzione y = x, applicando ad essa la definizione di differenziale si ha: dy = 1Dx , da cui Dx = dx, cioè il differenziale della variabile indipendente è uguale all’incremento della variabile. Pertanto l’espressione (1) può essere scritta nel seguente modo:

 

2)   d y = f ¢(x)dx

 

Esempio 2.-  Se y = sen 3x si ha che dy = 3cos3x dx

 

OSSERVAZIONE 2. Derivata di una funzione secondo Leibnitz.

Dalla relazione d y = f ¢(x)dx si ricava  oppure , cioè la derivata di una funzione è uguale al rapporto tra il differenziale della funzione e quello della variabile indipendente.

 

OSSERVAZIONE 3. Significato geometrico del differenziale

Dal punto di vista geometrico il differenziale è uguale alla differenza tra l’ordinata del punto B ( fig. 2), d’ascissa x + Dx,   della  retta tangente t alla curva d’equazione y = f(x) nel punto d’ascissa x e l’ordinata f(x) della curva, ossia:

 

3)   d y = BC

 

Di conseguenza sostituire a Df(x) il differenziale d f(x) nell’intervallo  (x, x + Dx ) equivale geometricamente  a sostituire la curva con la sua tangente.

Inoltre, dalla relazione:

 

4)   d y = Df(x) - AB

 

si evince che approssimando Df(x) con d f(x) si commette un errore dato da AB.

Tale approssimazione è tanto migliore quanto minore è AB, e quest’ultimo è tanto più piccolo quanto più piccolo è l’incremento Dx.