Esempio 1. - Calcolare la derivata della funzione y = | x² - 1 |

Osserviamo preliminarmente che la funzione f(x) = x² - 1 ha per derivata 2x.
Quindi applicando la formula (*) si ha:

y' = 2x [ | x² - 1 | / ( x² - 1 ) ]

e tenuto conto che il segno di f(x) =  x² - 1( il che si vede risolvendo la disequazione x² - 1 ³ 0) è:

• positivo per per x >1, x < -1

• negativo per -1<x<1

• nullo per x = 1,  x = -1

si ha che

      y' = 2x [  (x² - 1)  / ( x² - 1 ) ] = 2x          per x >1, x < -1

      y' = 2x [  (1 - x² )  / ( x² - 1 ) ] = - 2x      per -1<x<1

      y' = non esiste                                          per x = 1,  x = -1

Si può procedere anche in un altro modo.
La funzione y = | x² - 1 | si può riscrivere senza il valore assoluto* nel seguente modo:

      y = x² - 1     per x >1, x < -1

      y = 1 - x²       per -1<x<1

      y = 0            per x = 1,  x = -1

e derivando singolarmente si ottiene:

     y' = 2x          per x >1, x < -1

     y' = - 2x       per -1<x<1

     y' = non esiste            per x = 1,  x = -1

Ulteriore spiegazione

--------------------------------------------------
* Ricordiamo che per scrivere la funzione data senza valore assoluto bisogna analizzare il segno dell'argomento del valore assoluto f(x) = x² - 1 risolvendo la disequazione x² - 1³ 0.
**  | a |  | b | =  | ab |

<

Back to
 Matematica e libera ricerca

Torna all'indice