Derivata di una funzione con il valore assoluto - Giulio D. Broccoli
 
La regola per fare la derivata di una funzione y = | f(x) | che si presenta in valore assoluto č la seguente:

 *)                     y' = f '(x) [ | f(x) | / f(x)]

 

Esempio 1. - Calcolare la derivata della funzione y = | x2 - 1 |

Osserviamo preliminarmente che la funzione f(x) = x2 - 1 ha per derivata 2x.
Quindi applicando la formula (*) si ha:

y' = 2x [ | x2 - 1 | / ( x2 - 1 ) ]

e tenuto conto che il segno di f(x) =  x2 - 1( il che si vede risolvendo la disequazione x2 - 1 ³ 0) č:

  • positivo per per x >1, x < -1

  • negativo per -1<x<1

  • nullo per x = 1,  x = -1

si ha che

      y' = 2x [  (x2 - 1)  / ( x2 - 1 ) ] = 2x          per x >1, x < -1

      y' = 2x [  (1 - x2 )  / ( x2 - 1 ) ] = - 2x      per -1<x<1

      y' = non esiste                                          per x = 1,  x = -1

Si puņ procedere anche in un altro modo.
La funzione y = | x2 - 1 | si puņ riscrivere senza il valore assoluto* nel seguente modo:

      y = x2 - 1     per x >1, x < -1

      y = 1 - x2       per -1<x<1

      y = 0            per x = 1,  x = -1

e derivando singolarmente si ottiene:

     y' = 2x          per x >1, x < -1

     y' = - 2x       per -1<x<1

     y' = non esiste            per x = 1,  x = -1

Ulteriore spiegazione

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* Ricordiamo che per scrivere la funzione data senza valore assoluto bisogna analizzare il segno dell'argomento del valore assoluto f(x) = x2 - 1 risolvendo la disequazione x2 - 1³ 0.
**
 | a |  | b | =  | ab |

 

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