si ha:

y’(x) =

 

e quindi   

 

y (x) =

 

con c₁ e c₂ costanti arbitrarie.

Allora un’equazione del 2° ordine ha ∞² soluzioni.

 

Esempio 1.- L’equazione differenziale del 1° ordine , definita in R, ha infinite soluzioni date da:

                             y(x) =

con c costante reale arbitraria.

Agli ∞¹ valori di c corrispondono le ∞¹ curve integrali (famiglia di parabole).

Si noti che la y’ si può scrivere sottoforma dei due differenziali dy e dx, perciò l’equazione precedente diventa:

                                                           ossia          

 

e integrando ambo i membri si ha:

 

                            .

 

Esempio 2.- Per l’equazione differenziale del 2° ordine  y’’ = 6 x si ha    

 

y’ =

 

e quindi

 

                          .

 

In definitiva

                                

che in un riferimento cartesiano rappresenta una famiglia di ∞² curve (cubiche), dipendenti da due parametri reali c₁ e c₂.
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OSSERVAZIONE

Come si è detto, un’equazione differenziale ha infinite soluzioni che dipendono da una o più costanti; il loro insieme si chiama integrale generale. Ogni soluzione dedotta dall’integrale generale assegnando alle costanti valori particolari si dice integrale particolare. Un integrale particolare si ottiene dall’integrale generale, fissando alcune condizioni iniziali, come vedremo in qualche esempio

La curva integrale di ogni integrale particolare ha punti interni a D e punti sulla frontiera di D. [1]