Cenni sulle equazioni differenziali
Capitolo 6

 

 

1. Nozione di equazione differenziale. Generalità.

Un’equazione della forma:

 

1)       G(x , y , y’, y’’, ... , y ⁿ) = 0         

 

in cui figura come incognita una funzione y = f(x) e che stabilisca un legame tra la variabile indipendente x, la funzione y e le sue derivate y’, y’’, … y⁽ⁿ⁾, si dice equazione differenziale ordinaria di ordine ennesimo[1].

Se la (1) è esplicitata rispetto alla derivata di ordine n, ossia se è scritta nella forma:

 

2)       y ⁿ = g(x , y , y’, y’’, ... , y ^n-1)     

 

si dice forma normale di un’equazione differenziale.
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Se n = 1 l’equazione differenziale si dice del primo ordine, se n = 2 si dice del secondo ordine, e così via.

Per esempio l’equazione differenziale y’+ 4xy – 2 = 0 è del 1° ordine, mentre l’equazione

 y’’ + 4y = 0 è del 2° ordine.

 

Si chiama soluzione (o integrale) di un’equazione differenziale una qualsiasi funzione numerica y = f(x), definita in un intervallo I di R, ivi derivabile n volte, e che soddisfa l’equazione data, ossia tale che:

 

3)                  G(x , f(x) ,f’(x), f’’(x), ... , f ⁿ(x)) = 0        

 

Il grafico della funzione y = f(x), si chiama curva integrale dell’equazione differenziale (1).

Per precisare il concetto di soluzione, consideriamo la seguente semplice equazione differenziale del 1° ordine:

                                                  y’ = f(x)

 

Se f(x) è una funzione continua in un intervallo [a,b], la relazione y’ = f(x) ci dice che la funzione y = y(x) è una primitiva di f(x), perciò:    

 

y(x) =

 

con c costante arbitraria.

Ne segue che un’equazione differenziale del 1° ordine ha ∞¹  soluzioni, che dipendono da una costante arbitraria, di conseguenza sono ∞¹ anche le curve integrali.

Per  le equazioni del 2° ordine del tipo:

 

                                                 y’’ =  f(x)