La convergenza uniforme della successione (2) in [a,b] equivale a provare che converge uniformemente in [a,b]  la serie:

3)

e quindi basta provare che la serie di funzioni (3) converge totalmente [a,b].
Per provare ciò, basta provare che il termine generale  della serie (3) è maggiorato da una serie a termini positivi convergente.

Osserviamo, preliminarmente, che essendo  e  continue, a norma del teorema di Weierstrass, esiste il massimo MÎR:

**)                   ,

e per la lipschitzianità della funzione rispetto ad y si ha anche:

avendo indicato con p un numero reale positivo (coefficiente di Lipschtiz di f ).

Premesso ciò, dico che:

4)   

La (4) si dimostra applicando il principio d’induzione matematica.

Poiché la (4) è vera per n = 0 in quanto si riduce alla (**), a norma del principio d’induzione matematica, per provarla per ogni n ÎN,  bastar dimostrare che se un intero n è tale che:

5)                             

si ha anche:

6)                            

Osserviamo intanto che risulta:

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