Sia allora c un punto di massimo relativo per la funzione f(x). In base alla definizione di massimo relativo esiste un intorno completo H di c per il quale risulta .
Indicato  allora con h un numero positivo tale che i punti c – h ed c + h siano interni ad H, si ha:

 

         ,                  .

Dividiamo la prima disuguaglianza per h e la seconda per – h, e si ha:

1)         ,                             2)      .

 

Questi due rapporti incrementali (il primo destro e il secondo sinistro), essendo la funzione derivabile  in c, esistono e sono finiti, per h che tende a zero, e per di più sono uguali tra loro; precisamente, il valore comune del limite dei rapporti (1) e (2) è, cioè la derivata della funzione f(x) nel punto c.
Passando ai limiti, per h che tende a zero, si ha anche:

                             ,                                           

 

e da queste due disuguaglianze segue che .
Allo stesso modo si ragiona se c è un punto di minimo relativo.

 

Interpretazione geometrica
Dal punto di vista geometrico il teorema afferma che la tangente ad una curva in un suo punto di massimo o minimo relativo è parallela all’asse x (fig. 1).

Osservazione
Notiamo che non vale l’inverso del teorema, ossia non è vero che se c è un punto tale che  allora segue necessariamente che c è punto di massimo o di minimo relativo.
Infatti la funzione ha nel punto c = 0  ha derivata nulla, ma c = 0 non è un punto di massimo o di minimo relativo (fig. 2).

 

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