Massimi e minimi relativi delle funzioni derivabili

Definizione di massimo relativo di una funzione.
Sia y = f(x) una funzione reale definita nell’intervallo aperto (a,b). Si dice che un punto c interno all’intervallo (a,b) è un punto di massimo relativo per la funzione f(x), se esiste un intorno completo H del punto c, tale che:

per ogni x appartenente ad H.
Allo stesso modo si definisce il minimo relativo per una funzione f(x).

Sia y = f(x) una funzione reale definita nell’intervallo aperto (a,b). Si dice che un punto c interno all’intervallo (a,b) è un punto di massimo relativo per la funzione f(x), se esiste un intorno completo H del punto c, tale che:

per ogni x appartenente ad H.

Il punto c si dice poi di massimo relativo proprio (minimo relativo proprio) se()  per ogni appartenente ad H distinto da c.
Il valore che la f(x) assume in un punto di massimo o minimo relativo, si chiama un massimo o un minimo relativo di f(x).
Osserviamo che il valore assunto dalla funzione f(x) in un punto c di massimo o minimo relativo, non è necessariamente il più grande o il più piccolo valore tra quelli che essa assume in tutto l’intervallo (a,b), ma solo il più grande o il più piccolo fra quelli che la funzione assume in un intorno convenientemente piccolo di c.

Pertanto, la funzione può, nel dato intervallo, avere parecchi massimi e minimi relativi (fig.1)

Teorema
Se c è un punto di massimo o minimo relativo per la funzione f(x) e in tale punto la funzione f(x) è derivabile allora f’(c) = 0.

Dimostrazione

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