area trapezoide AQQ’A’ -  area trapezoide APP’A’ = area trapezoide PQQ’P’.

 

E se indichiamo con m e M  i valori minimo e massimo della f(x) nell’intervallo [ x, x + h ], è evidente che l’area del trapezoide PQQ’P’ è compresa fra le aree dei rettangoli aventi come misure della base P’Q’ = h e come misura delle altezze rispettivamente m e M . Quindi, se è h > 0 si ha:

 

 

Se invece è h<0 ,osservando che anche l’incremento della F(x) è negativo e che di due numeri negativi è maggiore quello di minor valore assoluto si ha:

 

 

 e dividendo per h in entrambi i casi si ha:

      

 

Se ora si fa tendere h a zero, x+h tende a x e quindi per la continuità della f(x), sia m che M tendono a f(x). Allora per il teorema del confronto si ha:

 

 

                                            

 

 cioè ,come volevamo dimostrare.