13.- La funzione integrale e il Teorema di Torricelli Barrow.

Data una funzione f(x), continua in [a, b ], consideriamo il suo integrale esteso dall’estremo inferiore a fisso ad un estremo x variabile in [a, b ] (fig. 1):                                                                        

                       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L’integrale così considerato è funzione del suo estremo superiore x e ciò appare anche più evidente se si ricorre all’interpretazione geometrica per cui esso rappresenta l’area del trapezoide APP’A, il quale ha il lato PP’, corrispondente all’estremo superiore x, variabile al variare di tale estremo.

Ad ogni valore dell’estremo superiore x corrisponde una determinata posizione del lato PP’ e quindi un determinato trapezoide. L’integrale definito che abbiamo considerato si chiama funzione integrale e si indica con F(x), cioè poniamo:                                      

 

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Teorema di Torricelli – Barrow o teorema fondamentale del calcolo integrale.

Se la funzione integranda f(x) è continua, la derivata della funzione integrale in un punto x (suo estremo superiore) è uguale al valore che la funzione integranda assume in quello stesso punto, cioè che  "xÎ[a,b].

Cioè in altre parole: la funzione integrale F(x) è una primitiva della funzione integranda f(x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 Dimostrazione

Per dimostrare il teorema si deve verificare che la derivata di F(x) è f(x), cioè che:

 

 

Calcoliamo quindi la derivata della funzione integrale in base alla definizione di derivata e riferendoci al suo significato geometrico, supponiamo che la f(x) sia tutta al di sopra dell’asse  delle ascisse. Se al generico valore x dell’estremo superiore variabile si dà un incremento h, la funzione integrale F(x) subisce un incremento  che, se indichiamo con Q il punto del diagramma della f(x) di ascissa x + h, è rappresentato geometricamente da: