3. Teorema del confronto[1] Siano f(x), h(x) e g(x) tre funzioni definite nello stesso intervallo X, escluso al più il punto c. Se in un intorno I di c risulta  e se le funzioni f(x) e g(x) ammettono entrambe limite L in c, cioè , risulta anche   

Nella figura 1 abbiamo illustrato una eventualità.

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 Dimostrazione

Se le funzioni f(x), e g(x)  ammettono lo stesso limite L in c si ha:

 

1)   ,  si ha:

 

2)   ,  si ha

 

 

Allora posto [2],  valgono le (1) e (2) la disequazione:

 

3)                                                               .

 

Di conseguenza,  e, risulta:

 

 

cioè, per definizione di limite, .

 

Osservazione

1) Se , scelto E > 0  nei quali si ha . Essendo, per ipotesi, , si avrà cioè.

2) Analogamente si dimostra il caso.

3) Se f(x) e g(x) tendono all’infinito con segni diversi, non possiamo dire nulla circa il limite di h(x).