2. Teorema della permanenza del segno

Se una funzione y = f(x) ammette limite L in c, , allora esiste un intorno  nel quale la funzione f(x) assume lo stesso segno di L:

 

Dimostrazione
Per definizione di limite si ha:

 

Osservato che la disuguaglianza vale , scegliamo in particolare , da cui trae che , mentre .

Di conseguenza  si ha la disuguaglianza:

 

da cui, se , si trae

 

,

 

cioè la funzione f(x) in assume lo stesso segno di L >0; mentre se  si ha:

 

 

cioè la funzione f(x) in assume lo stesso segno di L < 0.

Quindi in ogni caso ( L > 0 o L < 0) la funzione assume lo stesso segno del suo limite.

 

Nota
Il teorema vale anche se .

 

Osservazione
Il teorema non è invertibile, ossia non è vera la seguente implicazione

 

 

Non potendo essere per il teorema della permanenza del segno nemmeno L< 0, dovrà essere

L ³ 0.