1. Teorema dell’unicità del limite
Se una funzione y = f(x) ammette limite in c, esso è unico.

 

Dimostrazione.
Il teorema afferma che non è possibile avere:

 

A)                        ,   ,     con  

La dimostrazione si fa per assurdo, ossia supponiamo che sia vera la (A) e mostriamo che si perviene ad un assurdo.

Supponiamo, com’è lecito, che sia  Per definizione di limite si ha:

 

1) 

 

2) 

 

Tenuto conto che l’intersezione di due intorni di c è ancora un intorno di c, si ha che nell’intorno   valgono contemporaneamente le (1) e (2).

Pertanto in si ha che:

 

 

Osservato che le disuguaglianze suddette valgono per , scegliamo in particolare  . Con tale scelta  si ha:

 

e ciò è assurdo in quanto abbiamo scelto .

Pertanto la (A) è falsa e il teorema è vero.

 

Nota
Con un ragionamento analogo si può vedere che nel punto c la f(x) non può avere contemporaneamente per limite   e nemmeno un limite finito e uno infinito.

Il teorema vale anche se .