Commento 4
Essendo:
segue per definizione di limite:
e quindi si può maggiorare la di disuguaglianza:
.
Commento 5
La successione di funzioni
converge
uniformemente in
ed
essendo continua la funzione
,
poiché composta da funzioni continue, è lecito il passaggio
al limite sotto il segno d’integrale:
A tal proposito ricordiamo che è
possibile applicare la seguente formula di passaggio al
limite sotto il segno d’integrale:
quando
è
una successione di funzioni definite, continue
nell’intervallo 
ed
uniformemente convergente in
,
con 
.
Commento 6
La successione è infinitesima
e
si può provare applicando il criterio del rapporto:
.
Commento 8
Il
procedimento usato nella dimostrazione del teorema
fondamentale è basato su un metodo di approssimazioni
successive della soluzione.
Questo
metodo fornisce un procedimento di calcolo che, pur se
laborioso, consente effettivamente di calcolare, con
approssimazione grande a piacere, la soluzione
dell’equazione differenziale di cui viene dimostrata
l’esistenza e l’unicità.
Per questo
motivo la dimostrazione viene detta “costruttiva”.