Teorema di Rolle.

Sia y = f(x) una funzione definita e continua nell’intervallo chiuso [a,b] e derivabile nell’intervallo aperto (a,b) e tale che f(a) = f(b), allora esiste almeno un punto c dell’intervallo aperto (a,b) tale che f’(c) = 0.

Dimostrazione

 

Poiché la funzione y = f(x) è continua nell’intervallo [a,b] per il teorema di Weierstrass[1] essa è dotata di massimo (M) e di minimo assoluto(m) in [a,b]. Indichiamo con x₁ ed x₂  i due punti di [a,b] tali che f(x₁) = m ed f(x₂) = M (con m ≤ M).

Per continuare la dimostrazione distinguiamo due casi:

 

PRIMO CASO.-
Se M = m (cioè il massimo e il minimo assoluto coincidono) allora la funzione è costante nell’intervallo (a,b) e il teorema è dimostrato ricordando il fatto che la derivata di una funzione costante è sempre zero.

SECONDO CASO.-
Se  f(x₁) = m < M = f(x₂), osservato che per ipotesi è f(a) = f(b) segue che almeno uno dei punti x₁ ed x₂  è interno all’intervallo (a,b).
Infatti, se, per esempio, x₁ coincide con a, segue che x₂  è interno ad (a,b) non potendo essere x₂  = b in virtù dell’ipotesi f(a) = f(b).
In formule possiamo dire che:

Analogamente si ragiona supponendo x₁ = b, o iniziando il ragionamento con x₂.
In definitiva, almeno uno dei punti x₁ ed x₂  è interno all’intervallo (a,b). Sia allora, ad esempio, x₂  tale punto, che per quanto suddetto (teorema di Weierstrass) è anche un punto di massimo relativo, e dato che per ipotesi la funzione f(x) è derivabile in (a,b) segue, per un teorema di analisi matematica[2], che in tale punto la derivata è zero: .
Quindi il teorema è dimostrato assumendo c = x_2.

 

<

>