Applicazioni lineari       

Siano V_n e W_p due spazi vettoriali di dimensione finita n e p rispettivamente sullo stesso campo R (campo dei numeri reali).
Un'applicazione f  : V_n® W_p è detta lineare o un omomorfismo se:

1)      f( x + y ) = f(x) + f(y)     

2)       f(ax) = a f(x)

per ogni aÎR, "x , yÎV_n.

Se f è lineare e biunivoca si dice isomorfismo.
Se i sostegni coincidono, V_n = W_p, allora l'applicazione lineare f  : V_n ® V_n  si dice endomorfismo se verifica le condizioni (1) e (2).
Analoghe definizioni valgono se gli spazi vettoriali sono definiti su uno stesso campo K.

Osservazione. Le relazioni (1) e (2) si possono anche scrivere così:

3)      f( a x + b y ) = a f(x) + b f(y)     
 

per ogni a, bÎR, "x , yÎV_n. Infatti, dalla (3) per a = 1, e b = 0 si ottiene la (2) e per a = b = 1 si ottiene la (1).

Esempio 1.-  Verificare se l'applicazione f : R ® R definita con f(x) = c x è lineare, con c costante reale.
Occorre provare le relazione (1) e (2).

Per provare la (1) occorre provare che scelti due qualsiasi elementi di x, y di R si ha che la somma x + y si trasforma mediante l'applicazione lineare nella somma dei trasformati di x e di y.
Si ha:

f( x + y ) = c(x + y)

f( x ) = cx

f( y ) = cy

Ne consegue che

f( x ) + f( y ) = cx + cy = c(x+y)

e pertanto è uguale a f( x + y ) = c(x + y).

Per provare la (2) occorre provare che scelto un qualsiasi elemento di x di R si ha che ax si trasforma mediante l'applicazione lineare in a f(x).
Si ha:

f(ax) = acx

f(x) = cx

Ne consegue che

a f(x) = acx = f(ax)

Dunque l'applicazione è lineare.

Esempio 2.-  Verificare se l'applicazione f : R ® R definita con f(x) = c x + k è lineare, con c e k ¹ 0 costanti reali.

Si ha:

f( x + y ) = c(x + y) + k

f( x ) = cx + k

f( y ) = cy + k

Ne consegue che

f( x ) + f( y ) = cx + k + cy + k = c(x + y) + 2k

e pertanto è uguale a f( x + y ) = c(x + y) + k. Dunque l'applicazione non è lineare perché 2k è diverso da k.

 

 Esempio 3.-  Data la funzione f : R² ® R²  definita (x, y)® (2x - y, x - 2y) stabilire se è lineare.

Indichiamo con x = (x₁, x₂) e y = (y₁, y₂) due generici vettori di R² e aÎR.

Si ha:

f( x + y ) = f [ (x₁+y₁, x₂+y₂ )] = ( 2(x₁+y₁) - (x₂+y₂) , x₁+y₁- 2(x₂+y₂) ) = ( 2x₁ - x₂ + 2y₁ - y₂ , x₁ - 2x₂ + y₁ - 2y₂ )

f( x ) = f [ (x₁, x₂)] = (2x₁ - x₂, x₁ - 2x₂)

f( y ) = f [ (y₁, y₂)] = (2y₁ - y₂, y₁ - 2y₂)

Ne consegue che

f( x ) + f( y ) = (2x₁ - x₂, x₁ - 2x₂) + (2y₁ - y₂, y₁ - 2y₂) = ( 2x₁ - x₂ + 2y₁ - y₂ , x₁ - 2x₂ + y₁ - 2y₂ )

e pertanto è uguale a f( x + y ) = ( 2x₁ - x₂ + 2y₁ - y₂ , x₁ - 2x₂ + y₁ - 2y₂ ).

Bisogna provare la (2).
Ricordiamo che a x = (ax₁, ax₂). Si ha:

f(ax) = f [(ax₁, ax₂ )] = ( 2ax₁- ax₂ , ax₁ - 2ax₂ )

a f(x) = a f [(x₁, x₂ )] = a ( 2x₁- x₂ , x₁ - 2x₂ ) = ( 2ax₁- ax₂ , ax₁ - 2ax₂ )

Dunque l'applicazione è lineare.

 

 Esempio 4.-Data la funzione f : R³ ® R²  definita (x₁,x₂,x₃)® (-2x₁- x₂+3x₃, x₁ +2x₂+ x₃) stabilire se è lineare.

In preparazione