Applicazioni lineari - Giulio D. Broccoli

   

Applicazioni lineari       

Siano Vn e Wp due spazi vettoriali di dimensione finita n e p rispettivamente sullo stesso campo R (campo dei numeri reali).
Un'applicazione f  : Vn« Wp Ŕ detta lineare o un omomorfismo se:

1)      f( x + y ) = f(x) + f(y)     

2)       f(ax) = a f(x)

per ogni aR, "x , yVn.

Se f Ŕ lineare e biunivoca si dice isomorfismo.
Se i sostegni coincidono,
Vn = Wp, allora l'applicazione lineare f  : Vn « Vsi dice endomorfismo se verifica le condizioni (1) e (2).
Analoghe definizioni valgono se gli spazi vettoriali sono definiti su uno stesso campo K.

Osservazione. Le relazioni (1) e (2) si possono anche scrivere cosý:

3)      f( a x + b y ) = a f(x) + b f(y)     
 

per ogni a, bR, "x , yVn. Infatti, dalla (3) per a = 1, e b = 0 si ottiene la (2) e per a = b = 1 si ottiene la (1).

Esempio 1.-  Verificare se l'applicazione f : R « R definita con f(x) = c x Ŕ lineare, con c costante reale.
Occorre provare le relazione (1) e (2).

Per provare la (1) occorre provare che scelti due qualsiasi elementi di x, y di R si ha che la somma x + y si trasforma mediante l'applicazione lineare nella somma dei trasformati di x e di y.
Si ha:

f( x + y ) = c(x + y)

f( x ) = cx

f( y ) = cy

Ne consegue che

f( x ) + f( y ) = cx + cy = c(x+y)

e pertanto Ŕ uguale a f( x + y ) = c(x + y).

Per provare la (2) occorre provare che scelto un qualsiasi elemento di x di R si ha che ax si trasforma mediante l'applicazione lineare in a f(x).
Si ha:

f(ax) = acx

f(x) = cx

Ne consegue che

a f(x) = acx = f(ax)

Dunque l'applicazione Ŕ lineare.

Esempio 2.-  Verificare se l'applicazione f : R « R definita con f(x) = c x + k Ŕ lineare, con c e k ╣ 0 costanti reali.

Si ha:

f( x + y ) = c(x + y) + k

f( x ) = cx + k

f( y ) = cy + k

Ne consegue che

f( x ) + f( y ) = cx + k + cy + k = c(x + y) + 2k

e pertanto Ŕ uguale a f( x + y ) = c(x + y) + k. Dunque l'applicazione non Ŕ lineare perchÚ 2k Ŕ diverso da k.

 

 Esempio 3.-  Data la funzione f : R2 « R2  definita (x, y)« (2x - y, x - 2y) stabilire se Ŕ lineare.

Indichiamo con x = (x1, x2) e y = (y1, y2) due generici vettori di R2 e aR.

Si ha:

f( x + y ) = f [ (x1+y1, x2+y2 )] = ( 2(x1+y1) - (x2+y2) , x1+y1- 2(x2+y2) ) = ( 2x1 - x2 + 2y1 - y2 , x1 - 2x2 + y1 - 2y2 )

f( x ) = f [ (x1, x2)] = (2x1 - x2, x1 - 2x2)

f( y ) = f [ (y1, y2)] = (2y1 - y2, y1 - 2y2)

Ne consegue che

f( x ) + f( y ) = (2x1 - x2, x1 - 2x2) + (2y1 - y2, y1 - 2y2) = ( 2x1 - x2 + 2y1 - y2 , x1 - 2x2 + y1 - 2y2 )

e pertanto Ŕ uguale a f( x + y ) = ( 2x1 - x2 + 2y1 - y2 , x1 - 2x2 + y1 - 2y2 ).

Bisogna provare la (2).
Ricordiamo che
a x = (ax1, ax2). Si ha:

f(ax) = f [(ax1, ax2 )] = ( 2ax1- ax2 , ax1 - 2ax2 )

a f(x) = a f [(x1, x2 )] = a ( 2x1- x2 , x1 - 2x2 ) = ( 2ax1- ax2 , ax1 - 2ax2 )


Dunque l'applicazione Ŕ lineare.

 

 Esempio 4.-Data la funzione f : R3 « R2  definita (x1,x2,x3)« (-2x1- x2+3x3, x1 +2x2+ x3) stabilire se Ŕ lineare.

In preparazione   

 

 

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