Rette tangenti alla circonferenza, alla parabola, all'ellisse, all'iperbole.

Esempio 2.- Determinare le tangenti alla parabola  condotte per il punto P(0, 3).

Il punto P(0, 3) è esterno alla parabola data. Consideriamo dunque l’equazione del fascio di rette passanti per P, ossia  y = mx + 3 e formiamo il sistema:

*)          .

Nel sistema (*) ricaviamo l’equazione risolvente:

e imponiamo la condizione di tangenza D = 0. Ne consegue l’equazione in m:

risolta la quale si ottiene . Pertanto le rette tangenti hanno equazioni: 

                   .

Osservazione
 Il metodo esposto è applicabile sia se il punto T, per il quale si conducono le tangenti, è esterno alla curva, sia se il punto T appartiene alla curva. Evidentemente, fornirà nel primo caso due tangenti, e una sola tangente nel secondo caso.

Aggiungiamo che nel caso il punto T(x₁ ; y₁)  appartiene alla curva f(x,y)= 0 la retta tangente si può calcolare rapidamente con la seguente formula:

 1)                                     

 

se la curva è la circonferenza ;

2)                    

se la curva è l’ellisse  ;

3)                                      

 se la curva è l’iperbole ;

4)                                                    

se la curva è la parabola ;

5)                                            

se la curva è la parabola.

Esempio 3.- Calcolare l’equazione della retta tangente alla circonferenza d’equazione  condotta per il punto P(0,2).

Il punto P(0,2) appartiene alla circonferenza data. Pertanto applicando la formula (1) si vede che la retta tangente ha equazione:

Esempio 4.- Determinare l’equazione della retta tangente alla parabola d’equazione  passante per il suo punto P(0;1).

Visto che il punto P appartiene alla parabola conviene applicare la formula (4), con a = 3, b = -2, c = 1, x₁ = 0,  y₁ = 1. Quindi l’equazione della tangente è:

NOTA
Nel caso l’equazione della curva fosse quella della circonferenza, per calcolare le tangenti si può applicare anche la seguente procedura.

• S’impone che la generica retta  y - y₁ = m(x - x₁) passante per T(x₁ ;y₁) abbia  distanza  dal  centro  uguale   al raggio R  della   circonferenza.   In   tal modo   si   perviene   ad  un’equazione in valore   assoluto   nell’incognita   m.     Risolta    tale  equazione  si  ottengono due valori di m (m₁ , m₂) corrispondenti alle due tangenti per T.  Pertanto le equazioni delle tangenti  sono:                                            

                                         y - y₁ = m₁ (x - x₁ )  ,    y - y₁ = m₂ (x - x₁ ).                                    

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