Calcolo delle equazioni delle tangenti.

 

Scomponiamo questo metodo nei seguenti passi:

 

1) Si considera l’equazione  del fascio di rette di  centro T(x₁ ; y₁): 

 

                    y - y₁ = m(x - x₁)

 

2) Si forma il sistema:

 

(*)     

 

3) Dal sistema (*) si ricava un’equazione di 2° in x (o in y)  i cui  coefficienti dipendono da m. In tale equazione s’impone la condizione di tangenza:

 

         

 

dalla quale scaturisce  un’equazione di  2°  grado ( eventualmente di  1°) nell’ incognita m. Risolta  tale  equazione  si  ottengono  i  valori  m₁ , m₂  relativi alle due tangenti per T.

 

4) Le tangenti alla curva f(x,y) = 0, condotte per T, hanno equazioni:

 

 

t ₁  )       y - y₁ = m₁ (x - x₁    ),           t₂  )     y - y₁ = m₂ (x - x₁   ).

 

Per chiarire la procedura indicata conviene fare qualche esempio interamente svolto, onde evidenziare le varie difficoltà pratiche che si possono incontrare; nell’occasione metteremo in evidenza alcune particolarità che possono capitare.

Esempio 1.- Determinare l’equazione della tangente alla circonferenza  passante per il punto O(0,0).

 

Il punto O è esterno[1] alla circonferenza data e pertanto esistono due rette tangenti condotte per esso.

Consideriamo dunque la generica retta passante per l’origine d’equazione y = mx e formiamo il sistema:

 

        

 

che ammette la seguente equazione risolvente:

 

    ossia     

 

con .

Imponiamo in quest’ultima equazione la condizione di tangenza D = 0 e si ottiene l’equazione:

 

 

da cui si ha m = -3/4. Ne consegue che la retta tangente ha equazione .

Dovresti porti questa domanda? “ Mi aspettavo due rette tangenti, poiché il punto è esterno, ed invece ne abbiamo ottenuta solo una. Come mai?”

Notiamo che l’ulteriore retta tangente ( in quanto il punto O è esterno alla circonferenza)  è la parallela all’asse y passante per il punto O, ossia l’asse y.

Perché accade questo? Perché la procedura adottata non fornisce l’ulteriore retta tangente, sebbene venga indicata come la procedura per calcolare le tangenti?

Il motivo è semplice.

L’equazione del fascio y = mx, non esprime per alcun valore di m l’equazione x = 0 dell’asse y, e quindi dalla procedura adottata una tale retta tangente non potrà mai essere ricavata.

Il problema sta nel aver scelto, per semplicità, come fascio l’equazione y - 0 = m (x-0) con un solo parametro (m) e non l’equazione generale del fascio a(x-0)+b(y-0)=0 con due parametri (a e b).

Nonostante, questo caso particolare, negli esercizi, per semplicità, si usa in genere l’equazione del fascio con un solo parametro.

Evidentemente, nel corso di un esercizio, se il punto è esterno alla curva, le tangenti sono due (e si calcolano con la procedura esposta), fermo restando che se si ricavasse (a conti corretti) una sola tangente, l’ulteriore retta tangente alla curva è la parallela all’asse y d’equazione x = x₁, con ascissa del punto T.

 

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