Risoluzione
1)
Osserviamo che i coefficienti a,
b, c dipendono dal parametro k secondo le relazioni:
 ,
 ,
 ,
e che la condizione x1
= x2 equivale a richiedere che le radici siano reali e
coincidenti. Quindi, tenendo conto della tabella precedente, si evince che la
condizione x1 = x2 impone che il
discriminante dell’equazione (1) sia nullo:
D
= 0
Pertanto, ricordato che
D
= b 2 - 4ac, si ha l’equazione:
( k - 2 )2 - 4k( k - 1 ) = 0
da cui, eseguito la potenza
e svolto il prodotto indicato si ha:
 Û
- 3k2 + 4 = 0
risolta la quale si ottiene k =
 .
Quindi possiamo concludere che l’equazione (1) ammette soluzioni uguali se e
solo al parametro k si attribuiscono i valori:
2)
L’equazione (1) ammette radici
opposte (x1 = - x2) se e solo se il
coefficiente del
termine di primo grado è nullo ( b = 0 ).
Pertanto si ha:
In conclusione, l’equazione (1) ammette soluzioni opposte se attribuiamo a k
il valore 2.
Verifichiamo.
A tale scopo sostituiamo nell’equazione (1) k = 2. Si ha:
L’equazione che così si trova è di secondo grado ma ammette soluzioni complesse
coniugate poiché il suo delta è negativo:
D
= - 8.
Pertanto, se ci limitiamo a risolvere il problema posto al numero (2)
nell’insieme R dei numeri reali, dobbiamo concludere che il valore
trovato k = 2 non dà soluzioni opposte. Naturalmente il valore k =
2 dà soluzioni opposte se si risolve il problema dato nell’insieme C dei
numeri complessi.
Infatti, si ha:
 .
Questo esempio mostra che qualora si volesse restringere la validità delle
condizioni assegnate all’insieme R dei numeri reali bisogna prima di
tutto garantirsi che l’equazione data ammetta soluzioni reali ossia che il suo
delta sia positivo o nullo.
Nel nostro caso il delta è:
D
= - 3k2 + 4
ed è positivo se e solo se:
Il valore k = 2,
prima determinato, non è quindi accettabile come soluzione del nostro problema,
poiché non soddisfa la condizione
 , essendo  .
Quindi non esiste un valore di k reale che fa si che l’equazione (2)
ammetta soluzioni opposte e reali. Però per k = 2 esiste l’equazione
 che
ammette soluzioni complesse e coniugate ed opposte, come abbiamo provato.
3)
La condizione x = 1 significa che l’equazione (1) ammette il numero 1
come soluzione: Pertanto, è lecito sostituire x = 1 nell’equazione
parametrica (1).
Si ha:
( k - 1) (1) 2 - (k -
2)(1) + k = 0
ossia
k - 1 - k + 2 + k = 0 Û
k + 1 = 0 Û
k = - 1.
Possiamo concludere che per
k = -1 l’equazione (1) ammette per soluzione x = 1.
Verifichiamo.
( -1 - 1 )x2 - ( -1 - 2 )x + -1 = 0
Û
- 2x2 +3x - 1 = 0
da cui si ha:
e
cioè effettivamente l’equazione parametrica (1) si trasforma per k = -1
nell’equazione - 2x2 +3x - 1 = 0 avente per soluzione
 .
4)
L’equazione (1) ammette radici reciproche (
 )
se e solo se risulta il coefficiente
è
uguale al coefficiente ,
ossia:
k - 1 = k
da cui sommando i termini
simili risulta:
-1 = 0
palesemente assurdo.
Cosa significa questo risultato rispetto al nostro problema?
Per chiarire il significato del risultato, ricapitoliamo il nostro problema del
punto (5) in relazione all’equazione (1).
Si chiedeva di trovare il valore di k, se esiste, per il quale l’equazione (1)
si trasforma in un’equazione con radici reciproche.
Ebbene, ricordato che un’equazione di secondo grado in forma canonica
 ammette
radici reciproche a condizione che risulti a = c, abbiamo imposto
nell’equazione (1) l’uguaglianza tra i coefficienti a e c.
Ma tale imposizione ha generato il risultato -1 = 0 completamente assurdo.
Quindi, significa che non è possibile avere l’uguaglianza tra i coefficienti
a e c e di conseguenza è assurdo richiedere che l’equazione ammetta
soluzioni reciproche.
Pertanto, possiamo concludere che non esiste un valore reale di k
affinché l’equazione (1) ammetta soluzioni reciproche.
5)
In base alla tabella precedente la
condizione da imporre sui coefficienti dell’equazione (1) è
 .
Pertanto si ha:
Û
k - 1 = 3k Û
k = - 1/2.
Quindi per k = - ½ l’equazione (1) ammette soluzioni sottostanti alla
condizione  .
Provare per credere!
continua |