Un’equazione di secondo grado in forma normale

ax²  +bx +c = 0,

si dice parametrica se almeno uno dei coefficienti a, b, c dipende da uno o più  lettere variabili, dette parametri.

Sono, ad esempio, equazioni parametriche le seguenti:

(m - 1)x² - 5(m + 2)x - 3 = 0,          (k - h)x² + 5kx - k + 3h = 0

Nella prima i coefficienti a e b dipendono dal parametro m:

,        ;

nella seconda tutti e tre i coefficienti a, b, c dipendono da parametri:

,       ,         

Nel seguito considereremo, salvo avviso contrario, solo equazioni contenenti un sol parametro variabile nell’insieme R dei numeri reali, e pertanto lo chiameremo parametro reale.

E’ evidente che un’equazione parametrica rappresenta*, al variare del parametro, una famiglia di equazioni la cui forma e le relative soluzioni dipendono dal valore assunto dal parametro.

Ad esempio, l’equazione parametrica:

                                           (k - 1)x² + 5kx + k - 3 = 0

·        per   k = 1          diventa         5x - 2 = 0             con soluzione    x = 2/5;

·        per   k = 0         diventa         -x² - 3 = 0       e non ammette soluzioni reali;

·        per   k = 2         diventa         x² + 10x - 1= 0    con soluzioni .

 In relazione ad un’equazione parametrica si può porre il seguente problema:

”Data un’equazione parametrica, per quali valori del parametro l’equazione ammette soluzioni sottostanti a date condizioni”

Per risolvere tale problema, bisogna sviluppare le condizioni assegnate ed ottenere un’equazione ( disequazione) risolvente la cui incognita è proprio il parametro. Risolta tale equazione (disequazione) si ottiene il valore richiesto del parametro.

Generalmente, per ottenere l’equazione (disequazione) risolvente si utilizzano le relazioni tra i coefficienti a, b, c  di un’equazione di secondo grado e le sue soluzioni :

oltreché tutte le altre relazioni matematiche di cui ci fosse bisogno.

Riportiamo nella seguente tabella le condizioni assegnate che più frequentemente si incontrano e la corrispondente equazione (disequazione) risolvente. Nella seguente tabella supponiamo che le condizioni assegnate siano verificate o nell’insieme R dei numeri reali o nell’insieme C dei numeri complessi.

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* Vi sono casi in cui cui l'equazione non ammette mai soluzioni. Ad esempio, l'equazione k ²x ² + kx + 1 = 0 non ammette soluzioni per nessun valore reale di k, poichè il suo delta è sempre negativo.

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