Discutere un’equazione è particolarmente importante quando i coefficienti A e B dipendono da valori letterali.

Ad esempio, nell’equazione:

2)                                                        

il coefficiente A è m + 3 mentre il coefficiente B è m² -1, cioè:

,            .

In tal caso, al variare di m, cioè sostituendo ad m dei numeri, l’equazione (2) può essere determinata, indeterminata o impossibile.

Si vede facilmente che se scegliamo m = -3 l’equazione (2) si trasforma nella scrittura.

      ossia        ossia        ossia  

palesemente falsa. In tal caso la soluzione dell’equazione non esiste.
D’altra parte, si intuisce che m = - 3 è l’unico numero che trasforma l’equazione (2) in una uguaglianza falsa. Provare per credere!

Pertanto per m ¹ -3 l’equazione è determinata e la sua soluzione è: 

3)                                     ossia        .

Osserviamo che la condizione m ¹ -3 è essenziale per risolvere l’equazione (2).
Infatti, tale condizione ci garantisce che il coefficiente sia diverso da zero e rende lecito il passaggio (3) di divisione di ambo i membri dell’equazione per .

Notiamo, infine, che per l’equazione (2) non esistono valori numerici che sostituiti ad m annullano contemporaneamente i coefficienti  e .

Ne consegue che l’equazione non può essere indeterminata.

Lo studio appena fatto sull’equazione (2) è quanto bisogna fare quando ci viene chiesto di discutere e risolvere un’equazione letterale di primo grado.

Conviene però ottimizzare un po’ la procedura e fare la discussione come nei seguenti esempi.

Esempio 1.- Risolvere e discutere la seguente equazione letterale , con m parametro reale.

La prima cosa da notare è che è e.

Pertanto, se risulta: 

 ossia  ossia 

l’equazione è determinata (infatti il coefficiente A è diverso da zero) e la sua soluzione si ottiene con i seguenti passaggi:

Osserviamo che aver stabilito che  per  permette di dividere ambo i membri dell’equazione per il coefficienteed arrivare alla soluzione.

Abbiamo dunque stabilito quando l’equazione è determinata, ossia quando per il parametro m scegliamo un numero diverso da -3/2 ().

Cosa succede se invece scegliamo per m proprio il valore -3/2 ()?

Verifichiamolo praticamente, sostituendo  nell’equazione data. Si ha:

cioè l’equazione data si trasforma nell’uguaglianza 0 = 0, palesemente vera. Quindi l’equazione è per  indeterminata.

Ricapitoliamo:

• per  l’equazione è determinata e la soluzione è
• per  l’equazione è indeterminata. In questo caso le soluzioni sono tutti i numeri reali. Ogni numero è soluzione.

Notiamo che in questo caso l’equazione non è impossibile in nessun caso, cioè non esiste un numero che sostituito al parametro m la rende impossibile.

continua

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