Discussione di un’equazione razionale letterale di primo grado - Giulio D. Broccoli

L’equazione:


1)                              Ax = B

 

si dice equazione razionale di primo grado in forma normale.

Osserviamo che le lettere A e B rappresentano dei numeri reali o delle espressioni letterali, con la condizione che A non sia zero (A ¹ 0 ).
In sostanza, sostituendo ad AB dei numeri si ottengono delle equazioni numeriche:

per A = 3, B = 4 si ha l’equazione 3x = 4 avente per soluzione x = 4/3

per A = 2, B = 0 si ha l’equazione 2x = 0 avente per soluzione 2x = 0 da cui x = 0/2 = 0 ;

sostituendo ad A e B delle espressioni letterali si ottengono delle equazioni letterali:


per A = a+1, B = b+a si ha l’equazione (a+1)x = a+b  con soluzione x = (a+b ) / (a+1 ) .

 


La condizione A ¹ 0 è essenziale affinché l’equazione (1) ammetta soluzione. Infatti, se sostituiamo A = 0 nella scrittura (1) si ha:

 

0x = B         ossia      0 = B

 

e tale scrittura può essere vera o falsa.
Precisamente, è vera se scegliamo anche B = 0, ma è assurda se scegliamo B ¹ 0.
Infatti, nel caso B = 0 diventa:

 

0 = 0

 

che è palesemente vero, mentre per B = 7, ad esempio, diventa:

 

0 = 7

 

che è palesemente falso.

Ora, se è A ¹ 0 l’equazione (1) dicesi determinata e la sua soluzione è x = B/A,  se è A = 0 l’equazione può essere impossibile o indeterminata.

Precisamente, fermo restando A = 0, l’equazione (1) è impossibile se è B ¹ 0, mentre è indeterminata se è B =  0.

Un’equazione determinata ammette una sola soluzione, un’equazione indeterminata ammette infinite soluzioni, un’equazione impossibile non ammette soluzioni.
Discutere un’equazione significa stabilire quando e se ammette soluzioni in relazioni ai valori numerici assunti  dai coefficienti A e B.

 

Ricapitolando si ha:

Ax = B

      se A ¹ 0 ¯

se A = 0  B = 0 ¯

se A = 0 e B = p ¹ 0 ¯
               x = B/A           0x = 0            0x = p
     

equazione determinata

equazione indeterminata 

equazione impossibile

la soluzione è unica

ogni numero è soluzione

 non ammette soluzione

 

continua

<

>

Back to
 Matematica e libera ricerca

Torna all'indice