L’equazione:

1)                              Ax = B

si dice equazione razionale di primo grado in forma normale.

Osserviamo che le lettere A e B rappresentano dei numeri reali o delle espressioni letterali, con la condizione che A non sia zero (A ¹ 0 ).
In sostanza, sostituendo ad A e  B dei numeri si ottengono delle equazioni numeriche:

per A = 3, B = 4 si ha l’equazione 3x = 4 avente per soluzione x = 4/3
per A = 2, B = 0 si ha l’equazione 2x = 0 avente per soluzione ;

sostituendo ad A e B delle espressioni letterali si ottengono delle equazioni letterali:

per A = a+1, B = b+a si ha l’equazione  con soluzione .

La condizione A ¹ 0 è essenziale affinché l’equazione (1) ammetta soluzione. Infatti, se sostituiamo A = 0 nella scrittura (1) si ha:

0x = B         ossia      0 = B

e tale scrittura può essere vera o falsa.
Precisamente, è vera se scegliamo anche B = 0, ma è assurda se scegliamo B ¹ 0.
Infatti, nel caso B = 0 diventa:

0 = 0

che è palesemente vero, mentre per B = 7, ad esempio, diventa:

0 = 7

che è palesemente falso.

Ora, se è A ¹ 0 l’equazione (1) dicesi determinata e la sua soluzione è , se è A = 0 l’equazione può essere impossibile o indeterminata.

Precisamente, fermo restando A = 0, l’equazione (1) è impossibile se è B ¹ 0, mentre è indeterminata se è B =  0.

Un’equazione determinata ammette una sola soluzione, un’equazione indeterminata ammette infinite soluzioni, un’equazione impossibile non ammette soluzioni.
Discutere un’equazione significa stabilire quando e se ammette soluzioni in relazioni ai valori numerici assunti  dai coefficienti A e B.

Ricapitolando si ha:

continua

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