• Metodo generale per risolvere una disequazione

 

Per risolvere la disequazione f(x) > 0 (risp. f(x) < 0 ), ove f(x) è una funzione reale definita e continua in un intervallo I, si può procedere nel seguente modo:

 

·       si risolve in I l’equazione associata  f(x) = 0, e siano le sue soluzioni .

·       si calcola il valore della funzione f(x) in n + 1 punti[1]  Î I scelti a piacere (fig. 1) e tali che:

 

              

 

·       le soluzioni della disequazione f(x) > 0  (risp. f(x) < 0 )  sono gli intervalli aperti di estremi le soluzioni dell’equazione associata  in cui è   .

 

Esempio 1. Risolvere in [0,2p] la disequazione: *)

La disequazione (*) si può riscrivere nel seguente modo: ; l’equazione associata alla disequazione (*) è  ed ammette le seguenti soluzioni:

                  .

.

Pertanto, valutando la funzione  nei punti:

 

               b = 0 < p/3 ,               p/3 <  b = p/2  < 5p/6,               b = 2p  > 5p/6

 

si ha:

               ,                            ,                             

 

e si deduce (fig. 2) che la disequazione (*) è verificata per: p/3 <  x  < 5p/6.

 

Esempio 2. Risolvere la disequazione: *)  .

 

L’equazione associata alla disequazione (*) è  , ed ammette per soluzioni x = 2, x = -2; inoltre x = 1 è un punto di discontinuità per la funzione  , definita in R - {1}. Pertanto, valutando la funzione f(x) nei seguenti punti:

 

              b = -3 < - 2,           -2 < b = 0 < 1,       1 < b = 1/2 < 2,        b = 3 > 2 

 

si ha:

          

 

 

e si deduce (fig. 3) che le soluzioni della disequazione sono:  -2 < x < 1,  x > 2.