11. La distribuzione uniforme

Si ha una variabile casuale con distribuzione uniforme quando la variabile X assume valori 1, 2, 3,…,n e le probabilità sono tutte uguali tra loro ad 1/n.

N.B. Il valore medio m = M(X) = (1+ n)/2 e

Esempio 1.- Viene lanciato un dado. La variabile casuale X è il numero della faccia superiore del dado. Calcolare il valore medio e la varianza.

La variabile casuale X = { punti sulla faccia superiore del dado } può assumere i valori {1, 2, 3, 4, 5, 6} e ognuno con probabilità p = 1/6.
La tabella di distribuzione di probabilità della variabile casuale X è la seguente:
 

Essendo n = 6 e p = 1/6 si ha che:

m = (1+ 6)/2 ) = 3,5 ; Var(X) = (6² - 1)/12 = 35/12 = 2,92

 

12. Distribuzione binomiale o di Bernoulli.

Sia p è la probabilità che l'evento E si verifichi k volte su n prove e q la probabilità dell'evento contrario ad E. La variabile casuale di tipo binomiale è una variabile la cui distribuzione di probabilità è del tipo:

 

        

 

con k = 0, 1, 2,..., n  e 0 < p <1, q =1 - p.

N.B. .

Esempio 2.- Un'urna contiene 15 palline di cui 5 rosse e 10 verdi. Calcolare la probabilità che estraendo 6 palline,  reimmettendo ogni volta la pallina estratta nell'urna, 5 siano rosse. Calcolare inoltre, il valore medio e la varianza.

L'evento E, ossia l'evento che estraendo una pallina dall'urna sia rossa, ha probabilità di verificarsi ad ogni estrazione uguale a:

p(E) = 5/15 = 1/3

 

mentre la probabilità dell'evento contrario ad  E, ossia dell'evento che ad ogni estrazione la pallina sia verde, è:

 

q ( E ) = 1 - p(E) = 1 - 1/3 = 2/3

 

Pertanto, la probabilità che su 6 estrazioni 5 volte venga estratta una pallina rossa, è:

Il valore medio e la varianza sono:

,     

13. Distribuzione del Poisson

Si ha una variabile casuale con distribuzione del Poisson quando i valori assunti dalla variabile sono tutti gli interi 0, 1, 2, …k,…fino all'infinito e la distribuzione è:

 

       

 

con k = 0,1,2,...,.

N.B.

 

 

14. Disuguaglianza di Bienaymé Cebicev

Data una variabile casuale X di valore medio m  e varianza . La probabilità che i valori assunti da X differiscono dal valor medio m, in valore assoluto, di una quantità non minore di e > 0,  piccolo a piacere, è minore o uguale al rapporto tra la varianza e il quadrato di e, cioè:

 

          

 

 

 

15. Teorema di Bernoulli

Questo teorema è, nel caso di una distribuzione binomiale, una conferma della legge empirica del caso.

 

Teorema.- Effettuando un insieme di prove tutte nelle stesse condizioni, la probabilità che la frequenza relativa di una dato evento E differisca, in valore assoluto, dalla probabilità a priori dell'evento stesso per meno di un numero e > 0 e piccolo a piacere, tende ad 1 al crescere del numero delle prove.