Esempio.1 La serie  è divergente. Infatti, applicando il criterio del rapporto si ha:

   

d) Criterio della radice. Sia  una serie a termini positivi e tale che . Si ha:

·         se l < 1 la serie converge;

·         se l > 1 la serie diverge;

·         se l = 1  il criterio non fornisce informazione sul carattere delle serie.

Esempio.2 La serie  è convergente. Infatti, applicando il criterio della radice si ha:

 

d) Criterio di Leibniz. Sia  una serie a termini di segno alterno. Tale serie converge se

 

 

4. Particolari serie numeriche

 

a) Serie geometrica.

" xÎR - {0}," pÎR - {0} la serie geometrica di primo termine p:

 

          

 

converge per  - 1 < x < 1 e la sua somma è ; diverge per x ³ 1 e non è regolare per x £ -1.

b) Serie armonica.

" nÎN - {0} la serie armonica:

 

         

non converge sebbene sia .

 

c) Serie di Riemann o armonica generalizzata.

" nÎN - {0}, "a ÎR la serie di Riemann: