,                  .

 

b) Se in una serie convergente (divergente) si alterano in modo arbitrario  i valori di un numero finito di termini si ottiene ancora una serie convergente (divergente)

 

c) Una serie a termini positivi è sempre regolare.

 

d) Una serie a termini positivi che sia  maggiorata da una serie convergente è anch'essa convergente

 

e) Una serie a termini positivi che sia minorata da una serie divergente è anch'essa divergente

 

f) Una serie assolutamente convergente è convergente.

 

g) La somma di una serie assolutamente convergente (o convergente e a termini positivi)  non si altera cambiando arbitrariamente l'ordine dei suoi termini.

 

 

3. Criteri di convergenza

 

a) Criterio di convergenza di Cauchy. Condizione necessaria e sufficiente affinché la serie di termine generale  sia convergente è che " e > 0 esista un mÎN tale che:

 

 

N.B. Se una serie è convergente allora si ha .

 

b) Criterio di Gauss o del confronto.

Siano sono due serie a termini positivi. Si ha:

·         Se la serie   converge e se la seconda serie è maggiorata dalla prima, ossia se , allora converge anche la serie.

·         Se la serie   diverge e se , allora diverge anche la serie.

 

c) Criterio di D'Alembert o del rapporto. Sia  una serie a termini positivi e tale che . Si ha:

·         se l < 1 la serie converge;

·         se l > 1 la serie diverge;

 ·       se l = 1  il criterio non fornisce informazione sul carattere delle serie.