Formulario - Le serie e serie di funzioni

 

Serie
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1. Serie numeriche

Con il simbolo:

1)                                                    

 

si indica una serie numerica di termine generale  
generata dalla successione di numeri reali

  

Se la successione , delle somme ridotte n - sime:

 

               

 

Ŕ convergente ad un numero finito S ()  allora
 la serie si dice convergente e

 ;


mentre se la successione

ha limite infinito si dice che la serie diverge o che ha somma infinita.


Una serie che sia convergente o divergente si dice regolare.

Se il limite della successione non esiste la serie
 si dice indeterminata e la somma  non  Ŕ definita.

Il numero

 

si dice resto n - simo della
 serie e, se la serie Ŕ convergente, si ha

 .

 

 

 

Ricordiamo

  • Una serie si dice a termini positivi se  Ŕ positivo ,
    mentre si dice alternante se i suoi termini hanno segno
    alternativamente positivo e negativo.
  • Una serie si dice assolutamente convergente se risulta
     convergente la serie dei valori assoluti dei suoi termini.

 

2.  ProprietÓ fondamentali delle serie

 

a) Se

 

sono due serie convergenti rispettivamente ai numeri
S' ed S'' allora risultano convergenti anche le serie:

                    ,          

 

 con , e si ha:

 

 

b) Se in una serie convergente (divergente) si alterano in modo
arbitrario  i valori di un numero finito di termini si ottiene ancora una
 serie convergente (divergente)

 

c) Una serie a termini positivi Ŕ sempre regolare.

 

d) Una serie a termini positivi che sia  maggiorata da una serie
 convergente Ŕ anch'essa convergente

 

e) Una serie a termini positivi che sia minorata da una serie
 divergente Ŕ anch'essa divergente

 

f) Una serie assolutamente convergente Ŕ convergente.

 

g) La somma di una serie assolutamente convergente
(o convergente e a termini positivi)  non si altera cambiando
arbitrariamente l'ordine dei suoi termini.

 

 

 

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Indice Serie Numeriche

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