Matematica
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Dalle riflessioni di questi giorni è nata la seguente osservazione

Siano  x < y interi dati. Si possono presentare due possibilità:

• il numero r, tale che x² + y² = r², è intero;

• il numero r, tale che x² + y² = r², non è intero (è irrazionale).

La terna (x,y,r) non è soluzione dell'equazione xⁿ + yⁿ = zⁿ " n >2, il numero z che la verifica, se esiste, è tale che  .

Ipotizziamo che r sia intero. Nel triangolo rettangolo di lati x, y, ed r (ipotenusa) si ha anche x = r sen a  e y = r cos a  e quindi
 

 xⁿ + yⁿ = rⁿ (senⁿ a + cosⁿ a)

 Pertanto, da xⁿ + yⁿ = zⁿ , dovrebbe anche essere

                       
 
 ossia 
 

ed essendo senⁿ a + cosⁿ a < 1, segue che z è minore di r

Inoltre, essendo

r²= x²+ y² < xⁿ + yⁿ = zⁿ

segue che 

 r²< zⁿ < rⁿ

e cioè

Ipotizziamo che r sia non intero (irrazionale). Allora dalla relazione:

si ricava che anche z non è intero (irrazionale).

Il risultato sembra ovvio, ma a me pare interessante il fatto che variando in tutti i possibili modo x ed y nell'insieme degli interi, comunque tutto il ragionamento rimane valido, e in ogni caso ci permette di capire che il numero z deve sottostare alla limitazione
In sostanza, il numero che verifica il teorema di Pitagora non può essere soluzione del teorema di Fermat.
Questa limitazione ci permette di fare una verifica rapida con un pc, ossia, dati una coppia d'interi x ed y, con n fissato, ci consideriamo tutti gli interi compresi tra . Se esiste una soluzione del teorema di Fermat, deve trovarsi tra questi due valori.
Sia n = 10 e, ad esempio per x = 15, y = 20 si ha r = 25 e allora z sarà compreso  tra la radice quinta di 25 e e 25, cioè tra 1, 9 e 25.
Per n = 3 si avrebbe che z è compreso 2,9 e 25.
Dice poco.

Giulio D. Broccoli